Dinámica de fluidos

El movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar su descripción consideraremos el comportamiento de un fluido ideal cuyas características son las siguientes:

1.-Fluido no viscoso. Se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido
2.-Flujo estacionario. La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo
3.-Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo
4.-Flujo irrotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del fluido respecto de cualquier punto.

Ecuación de la continuidad

Consideremos una porción de fluido en color amarillo en la figura, el instante inicial t y en el instante t+Dt.
En un intervalo de tiempo Dt la sección  S₁ que limita a la porción de fluido en la tubería inferior se mueve hacia la derecha Dx₁=v₁Dt. La masa de fluido desplazada hacia la derecha es Dm₁=r·S₁Dx₁=rS₁v₁Dt.
Análogamente, la sección S₂ que limita a la porción de fluido considerada en la tubería superior se mueve hacia la derecha  Dx₂=v₂Dt. en el intervalo de tiempo Dt. La masa de fluido desplazada es Dm₂=r S₂v₂ Dt. Debido a que el flujo es estacionario la masa que atraviesa la sección S₁ en el tiempo Dt, tiene que ser igual a la masa que atraviesa la sección S₂ en el mismo intervalo de tiempo. Luego

v1S1=v2S2

Esta relación se denomina ecuación de continuidad.
En la figura, el radio del primer tramo de la tubería es el doble que la del segundo tramo, luego la velocidad del fluido en el segundo tramo es cuatro veces mayor que en el primero.

Ejemplo:

Cuando se abre poco a poco un grifo, se forma un pequeño chorro de agua, un hilo cuyo radio va disminuyendo con la distancia al grifo y que al final, se rompe formando gotas.
La ecuación de continuidad nos proporciona la forma de la superficie del chorrito de agua que cae del grifo, tal como apreciamos en la figura.

La sección trasversal del chorro de agua cuando sale del grifo es S0, y la velocidad del agua es v0. Debido a la acción de la gravedad la velocidad v del agua se incrementa. A una distancia h del grifo la velocidad es Aplicando la ecuación de continuidad Despejamos el radio r del hilo de agua en función de la distancia h al grifo.

Ecuación de Bernoulli

Evaluemos los cambios energéticos que ocurren en la porción de fluido señalada en color amarillo, cuando se desplaza a lo largo de la tubería. En la figura, se señala la situación inicial y se compara la situación final después de un tiempo Dt. Durante dicho intervalo de tiempo, la cara posterior S₂ se ha desplazado v₂ Dt y la cara anterior S₁ del elemento de fluido se ha desplazado v₁Dt hacia la derecha.



El elemento de masa Dm se puede expresar como   Dm=r S₂v₂Dt=r S₁v₁Dt= r DV
Comparando la situación inicial en el instante t y la situación final en el instante t+Dt. Observamos que el elemento Dm incrementa su altura, desde la altura y₁ a la altura y₂

• La variación de energía potencial es DE_p=Dm·gy₂-Dm·gy₁=r DV·(y₂-y₁)g

El elemento Dm cambia su velocidad de v₁ a v₂,

• La variación de energía cinética es DE_k =

El resto del fluido ejerce fuerzas debidas a la presión sobre la porción de fluido considerado, sobre su cara anterior y sobre su cara posterior F₁=p₁S₁ y F₂=p₂S₂.
La fuerza F₁ se desplaza Dx₁=v₁Dt. La fuerza y el desplazamiento son del mismo signo
La fuerza F₂ se desplaza Dx₂=v₂ Dt. La fuerza y el desplazamiento son de signos contrarios.

• El trabajo de las fuerzas exteriores es W_ext=F₁ Dx₁- F₂ Dx₂=(p₁-p₂) DV

El teorema del trabajo-energía nos dice que el trabajo de las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema de partículas modifica la energía del sistema de partículas, es decir, la suma de las variaciones de la energía cinética y la energía potencial del sistema de partículas

W_ext=E_f-E_i=(E_k+E_p)_f-(E_k+E_p)_i=DE_k+DE_p

Simplificando el término DV y reordenando los términos obtenemos la ecuación de Bernoulli

Efecto Venturi

Cuando el desnivel es cero, la tubería es horizontal. Tenemos entonces, el denominado tubo de Venturi, cuya aplicación práctica es la medida de la velocidad del fluido en una tubería. El manómetro mide la diferencia de presión entre las dos ramas de la tubería.
La ecuación de continuidad se escribe

v₁S₁=v₂S₂
Que nos dice que la velocidad del fluido en el tramo de la tubería que tiene menor sección es mayor que la velocidad del fluido en el tramo que tiene mayor sección. Si S₁>S₂, se concluye que v₁<v₂.
La en la ecuación de Bernoulli con y₁=y₂



Como la velocidad en el tramo de menor sección es mayor, la presión en dicho tramo es menor.
Si v₁<v₂ se concluye que p₁>p₂ El líquido manométrico desciende por el lado izquierdo y asciende por el derecho.

Podemos obtener las velocidades v₁ y v₂ en cada tramo de la tubería a partir de la lectura de la diferencia de presión p₁-p₂ en el manómetro.