Regimen laminar y turbulento

No existe una teoría análoga que describa el comportamiento de los fluidos en régimen turbulento, o que explique la transición de régimen laminar a turbulento.

El objetivo de estas página es la de familiarizar al lector con el denominado número de Reynolds, y la importancia que tiene a la hora de definir si un determinado fluido está en régimen laminar, turbulento, o en la transición entre ambos regímenes.

Podremos observar que los resultados experimentales se ajustan notablemente a las predicciones del flujo laminar para valores bajos del número de Reynolds R, hasta aproximadamente 3000, y se ajustan a las predicciones del flujo turbulento para valores de R mayores que 4400 aproximadamente. Mientras que los valores intermedios de R cubren una amplia región en la que se produce la transición de flujo y ninguna de las dos teorías reproduce satisfactoriamente los resultados experimentales.

El número de Reynolds es el número adimensional

Donde D es el diámetro del tubo, r la densidad del fluido, y h la viscosidad, y v su velocidad.
Para fluidos no ideales la ecuación de Bernoulli toma la forma

donde el término H se denomina "pérdida de carga". Si el fluido es ideal H=0,

Dispositivo experimental

 

El dispositivo experimental consta de un frasco de Mariotte de 27.4 cm de diámetro y 57.5 cm de altura, que desagua a través de un tubo horizontal de longitud L y diámetro D, que se inserta en un orificio situado en la parte inferior del frasco.

Se dispone de un conjunto de tres tubos intercambiables de los siguientes diámetros y longitudes

Tubo	Longitud (cm)	Diámetro (mm)
1	29.3	2.42
2	56.7	3.96
3	50.5	5.36

La velocidad v de salida del agua por el tubo horizontal se puede determinar mediante simples medidas de caudal.
En la experiencia real, se recogerán los datos correspondientes a la velocidad v de salida del agua por el tubo horizontal en función de la altura h del tubo del frasco de Mariotte. Se compararán los valores "experimentales" con las predicciones del flujo laminar y del flujo turbulento.
La utilización de tubos de vidrio de dimensiones diferentes permite comprobar que la transición del régimen laminar al turbulento es independiente de éstas, dependiendo únicamente, del valor crítico de un parámetro adimensional: el número de Reynolds.

El frasco de Mariotte

Uno de los ejemplos más ilustrativos de la ecuación de Bernoulli es el frasco de Mariotte. Este sencillo dispositivo nos proporciona un caudal constante mientras el nivel de líquido en el recipiente esté por encima del extremo inferior del tubo vertical.

Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos 0 (extremos inferior del tubo vertical) y 1 (orificio de salida o entrada del tubo horizontal), tendremos Teniendo en cuenta que la diferencia de alturas y0-y1=h, que la presión p0 en el extremo inferior del tubo vertical es la presión atmosférica pat, y que v0» 0, ya que la sección del recipiente es mucho mayor que la sección del orificio de salida.         (1)

El tubo horizontal

Para un tubo horizontal de sección uniforme la ecuación de continuidad implica que v₁=v₂=v. Los puntos 1 y 2 están a la misma altura y₁=y₂=0, y la presión a la salida del tubo es la atmosférica p₂=p_at.

Fluido perfecto

Como v₁=v₂ e y₁=y₂. La ecuación de Bernoulli implica
p₁=p₂=p_at.
La ecuación (1) se escribe 

El gasto G=p ·r²·v, que se mantiene constante mientras que el nivel del líquido en el recipiente esté por encima del extremo inferior del tubo vertical.
Fluido viscoso en régimen laminar
Al estudiar ley de Poiseuille vimos que el gasto G=πr²v era directamente proporcional al gradiente de presión a lo largo del tubo, es decir, al cociente (p₁-p₂)/L.

Como  p₂=p_at. la ecuación (1) se escribe

Ejemplo:

Para el agua a 20ºC los datos son densidad r=1000 kg/m³ y viscosidad h=1.002·10^-3 kg/(ms)

Supongamos que utilizamos el primer tubo, L=29.3 cm y D=2r=2.42 mm, y que la altura h=30 cm

Resolvemos la ecuación de segundo grado para calcular v, tomando la raíz positiva v=1.30 m/s. El caudal es G=πr²v=6.0 litros/s

El número de Reynolds vale

Velocidad de salida del fluido en función de la altura h.

• Entre el punto 0 y 1 (frasco de Mariotte)

                     (1)

• Entre el punto 1 y 2 (tubo horizontal),

Como el punto 2 está en contacto con el aire, p₂=p_at y v=v₁=v₂ por la ecuación de continuidad.
p₁-p_at=r (H_L+H_l)

Siendo H= H_L+H_l las pérdidas totales de carga.

Combinando ambas ecuaciones llegamos a la ecuación que relaciona v y h.

   (2)

Hay dos expresiones para la pérdida H_L una que describe el comportamiento del fluido en régimen laminar y otra que describe el comportamiento del fluido en régimen turbulento como veremos más adelante.

Otras pérdidas

Bajo el término H_l se agrupan otras pérdidas menores debidas a la entrada y salida del fluido por el tubo horizontal, y que son independientes de que el régimen del fluido sea laminar o turbulento.

siendo comunes los valores de K=0.78 en la entrada y K=1 en la salida. En total tenemos que

Fluido en régimen laminar

A la diferencia de presión p₁-p₂ en los extremos del tubo horizontal dividida entre la densidad r del fluido, se le denomina pérdida de carga H_L en el flujo laminar

Siendo L y D  la longitud y el diámetro del tubo horizontal y h la viscosidad del fluido.
La ecuación (2) teniendo en cuanta las expresiones de las pérdidas de carga H_L en el flujo laminar y las pérdidas H_l debidas a la entrada y salida del fluido por el tubo horizontal, se expresa
:

Ejemplo:

Para el agua a 20ºC los datos son r=1000 kg/m³ y h=1.002·10^-3 kg/(ms)

Volvemos al ejemplo del apartado anterior. Supongamos que utilizamos el primer tubo, L=29.3 cm y D=2r=2.42 mm, y que la altura h=30 cm

Resolvemos la ecuación de segundo grado para calcular v, tomando la raíz positiva v=0.988 m/s. El caudal es G=πr²v=4.5 litros/s

El número de Reynolds vale

Fluido en régimen turbulento

En este caso, se emplea la fórmula empírica de Blasius válida para tubos lisos y para valores del número de Reynolds hasta 10⁵.

Expresaremos  H_L en términos de las variables básicas en vez del número de Reynolds R. Las pérdidas  H_l debidas a la entrada y salida del fluido por el tubo horizontal tienen la misma expresión en el régimen laminar y en el turbulento
La ecuación (2) se escribe

Se resuelve mediante el procedimiento numérico del punto medio.

Experiencia

Se establece la altura h del extremo inferior del tubo vertical en el frasco Mariotte medida desde el centro del orificio de salida, o desde el eje del tubo horizontal.
El agua que sale por el extremo del tubo horizontal cae en un medidor de caudal. El volumen de agua que sale del tubo horizontal en la unidad de tiempo (gasto) es

Se mide el volumen V de agua en cm³ recogida en el medidor de caudal en el tiempo t, V=G·t. Conocido el diámetro del tubo se calcula la velocidad v de salida del agua.
Si empleamos el tercer tubo D=5.36 mm y se ha tardado t=8.89 s en recoger V=200 cm³. La velocidad v de salida del agua es

v=99.7 cm/s =1.0 m/s
El número de Reynolds se calcula mediante la fórmula

Fluidos reales

Viscosidad

La viscosidad es el rozamiento interno entre las capas de fluido. A causa de la viscosidad, es necesario ejercer una fuerza para obligar a una capa de fluido a deslizar sobre otra.
En la figura, se representa un fluido comprendido entre una lámina inferior fija y una lámina superior móvil.

La capa de fluido en contacto con la lámina móvil tiene la misma velocidad que ella, mientras que la adyacente a la pared fija está en reposo. La velocidad de las distintas capas intermedias aumenta uniformemente entre ambas láminas tal como sugieren las flechas. Un flujo de este tipo se denomina laminar.
Como consecuencia de este movimiento, una porción de líquido que en un determinado instante tiene la forma ABCD, al cabo de un cierto tiempo se deformará y se transformará  en la porción ABC’D’.
Sean dos capas de fluido de área S que distan dx y entre las cuales existe una diferencia de velocidad dv.

La fuerza por unidad de área que hay que aplicar es proporcional al gradiente de velocidad. La constante de proporcionalidad se denomina viscosidad h.             (1)

En el caso particular, de que la velocidad aumente uniformemente, como se indicó en la primera figura, la expresión (1) se escribe

En la figura, se representan dos ejemplos de movimiento de un fluido a lo largo de una tubería horizontal alimentada por un depósito grande que contiene líquido a nivel constante. Cuando el tubo horizontal está cerrado todos los tubos manométricos dispuestos a lo largo de la tubería marcan la misma presión p=p₀+r gh. Al abrir el tubo de salida los manómetros registran distinta presión según sea el tipo de fluido.

• Fluido ideal

Un fluido ideal (figura de la izquierda) sale por la tubería con una velocidad, , de acuerdo con el teorema de Torricelli. Toda la energía potencial disponible (debido a la altura h) se transforma en energía cinética. Aplicando la ecuación de Bernoulli podemos fácilmente comprobar que la altura del líquido en los manómetros debe ser cero.

• Fluido viscoso

En un fluido viscoso (figura de la derecha) el balance de energía es muy diferente. Al abrir el extremo del tubo, sale fluido con una velocidad bastante más pequeña. Los tubos manométricos marcan alturas decrecientes, informándonos de las pérdidas de energía por rozamiento viscoso. En la salida, una parte de la energía potencial que tiene cualquier elemento de fluido al iniciar el movimiento se ha transformado íntegramente en calor. El hecho de que los manómetros marquen presiones sucesivamente decrecientes nos indica que la pérdida de energía en forma de calor es uniforme a lo largo del tubo
Viscosidad de algunos líquidos

Líquido	h ·10-2 kg/(ms)
Aceite de ricino	120
Agua	0.105
Alcohol etílico	0.122
Glicerina	139.3
Mercurio	0.159

Ley de Poiseuille

Consideremos ahora un fluido viscoso que circula en régimen laminar por una tubería de radio interior R, y de longitud L, bajo la acción de una fuerza debida a la diferencia de presión existente en los extremos del tubo.
F=(p₁-p₂)p r²



Sustituyendo F en la fórmula (1) y teniendo en cuenta que el área A de la capa es ahora el área lateral de un cilindro de longitud L y radio r.


El signo negativo se debe a que v disminuye al aumentar r.

• Perfil de velocidades

Integrando esta ecuación, obtenemos el perfil de velocidades en función de la distancia radial, al eje del tubo. Se ha de tener en cuenta que la velocidad en las paredes del tubo r=R es nula.

que es la ecuación de una parábola.



El flujo tiene por tanto un perfil de velocidades parabólico, siendo la velocidad máxima en el centro del tubo.

• Gasto

El volumen de fluido que atraviesa cualquier sección normal del tubo en la unidad de tiempo se denomina gasto.

El volumen de fluido que atraviesa el área del anillo comprendido entre r y r+dr en la unidad de tiempo es v(2p rdr). Donde v es la velocidad del fluido a una distancia r del eje del tubo y 2p rdr es el área del anillo.

El gasto se hallará integrando


El gasto G es inversamente proporcional a la viscosidad h y varía en proporción directa a la cuarta potencia del radio del tubo R, y es directamente proporcional al gradiente de presión a lo largo del tubo, es decir al cociente (p₁-p₂)/L.
El gasto se puede expresar G=πR²<v>, donde <v> es la velocidad media del fluido

Fórmula de Stokes

Cuando un cuerpo se mueve en el seno de un fluido viscoso la resistencia que presenta el medio depende de la velocidad relativa y de la forma del cuerpo. El régimen de flujo es laminar cuando la velocidad relativa es inferior a cierto valor crítico,  la resistencia que ofrece el medio es debida casi exclusivamente a las fuerzas de rozamiento que se oponen al resbalamiento de unas capas de fluido sobre otras, a partir de la capa límite adherida al cuerpo. Se ha comprobado experimentalmente, que la resultante de estas fuerzas es una función de la primera potencia de la velocidad relativa. Para el caso de una esfera, la expresión de dicha fuerza se conoce como la fórmula de Stokes.



Donde R es el radio de la esfera, v su velocidad y h la viscosidad del fluido.
Una aplicación práctica de la fórmula de Stokes es la medida de la viscosidad de un fluido.

Dinámica de fluidos

El movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar su descripción consideraremos el comportamiento de un fluido ideal cuyas características son las siguientes:

1.-Fluido no viscoso. Se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido
2.-Flujo estacionario. La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo
3.-Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo
4.-Flujo irrotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del fluido respecto de cualquier punto.

Ecuación de la continuidad

Consideremos una porción de fluido en color amarillo en la figura, el instante inicial t y en el instante t+Dt.
En un intervalo de tiempo Dt la sección  S₁ que limita a la porción de fluido en la tubería inferior se mueve hacia la derecha Dx₁=v₁Dt. La masa de fluido desplazada hacia la derecha es Dm₁=r·S₁Dx₁=rS₁v₁Dt.
Análogamente, la sección S₂ que limita a la porción de fluido considerada en la tubería superior se mueve hacia la derecha  Dx₂=v₂Dt. en el intervalo de tiempo Dt. La masa de fluido desplazada es Dm₂=r S₂v₂ Dt. Debido a que el flujo es estacionario la masa que atraviesa la sección S₁ en el tiempo Dt, tiene que ser igual a la masa que atraviesa la sección S₂ en el mismo intervalo de tiempo. Luego

v1S1=v2S2

Esta relación se denomina ecuación de continuidad.
En la figura, el radio del primer tramo de la tubería es el doble que la del segundo tramo, luego la velocidad del fluido en el segundo tramo es cuatro veces mayor que en el primero.

Ejemplo:

Cuando se abre poco a poco un grifo, se forma un pequeño chorro de agua, un hilo cuyo radio va disminuyendo con la distancia al grifo y que al final, se rompe formando gotas.
La ecuación de continuidad nos proporciona la forma de la superficie del chorrito de agua que cae del grifo, tal como apreciamos en la figura.

La sección trasversal del chorro de agua cuando sale del grifo es S0, y la velocidad del agua es v0. Debido a la acción de la gravedad la velocidad v del agua se incrementa. A una distancia h del grifo la velocidad es Aplicando la ecuación de continuidad Despejamos el radio r del hilo de agua en función de la distancia h al grifo.

Ecuación de Bernoulli

Evaluemos los cambios energéticos que ocurren en la porción de fluido señalada en color amarillo, cuando se desplaza a lo largo de la tubería. En la figura, se señala la situación inicial y se compara la situación final después de un tiempo Dt. Durante dicho intervalo de tiempo, la cara posterior S₂ se ha desplazado v₂ Dt y la cara anterior S₁ del elemento de fluido se ha desplazado v₁Dt hacia la derecha.



El elemento de masa Dm se puede expresar como   Dm=r S₂v₂Dt=r S₁v₁Dt= r DV
Comparando la situación inicial en el instante t y la situación final en el instante t+Dt. Observamos que el elemento Dm incrementa su altura, desde la altura y₁ a la altura y₂

• La variación de energía potencial es DE_p=Dm·gy₂-Dm·gy₁=r DV·(y₂-y₁)g

El elemento Dm cambia su velocidad de v₁ a v₂,

• La variación de energía cinética es DE_k =

El resto del fluido ejerce fuerzas debidas a la presión sobre la porción de fluido considerado, sobre su cara anterior y sobre su cara posterior F₁=p₁S₁ y F₂=p₂S₂.
La fuerza F₁ se desplaza Dx₁=v₁Dt. La fuerza y el desplazamiento son del mismo signo
La fuerza F₂ se desplaza Dx₂=v₂ Dt. La fuerza y el desplazamiento son de signos contrarios.

• El trabajo de las fuerzas exteriores es W_ext=F₁ Dx₁- F₂ Dx₂=(p₁-p₂) DV

El teorema del trabajo-energía nos dice que el trabajo de las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema de partículas modifica la energía del sistema de partículas, es decir, la suma de las variaciones de la energía cinética y la energía potencial del sistema de partículas

W_ext=E_f-E_i=(E_k+E_p)_f-(E_k+E_p)_i=DE_k+DE_p

Simplificando el término DV y reordenando los términos obtenemos la ecuación de Bernoulli

Efecto Venturi

Cuando el desnivel es cero, la tubería es horizontal. Tenemos entonces, el denominado tubo de Venturi, cuya aplicación práctica es la medida de la velocidad del fluido en una tubería. El manómetro mide la diferencia de presión entre las dos ramas de la tubería.
La ecuación de continuidad se escribe

v₁S₁=v₂S₂
Que nos dice que la velocidad del fluido en el tramo de la tubería que tiene menor sección es mayor que la velocidad del fluido en el tramo que tiene mayor sección. Si S₁>S₂, se concluye que v₁<v₂.
La en la ecuación de Bernoulli con y₁=y₂



Como la velocidad en el tramo de menor sección es mayor, la presión en dicho tramo es menor.
Si v₁<v₂ se concluye que p₁>p₂ El líquido manométrico desciende por el lado izquierdo y asciende por el derecho.

Podemos obtener las velocidades v₁ y v₂ en cada tramo de la tubería a partir de la lectura de la diferencia de presión p₁-p₂ en el manómetro.

Bombas

Bomba hidráulica

Tornillo de Arquímedes

Una bomba hidráulica es una máquina generadora que transforma la energía (generalmente energía mecánica) con la que es accionada en energía hidráulica del fluido incompresible que mueve. El fluido incompresible puede ser líquido o una mezcla de líquidos y sólidos como puede ser el hormigón antes de fraguar o la pasta de papel. Al incrementar la energía del fluido, se aumenta su presión, su velocidad o su altura, todas ellas relacionadas según el principio de Bernoulli. En general, una bomba se utiliza para incrementar la presión de un líquido añadiendo energía al sistema hidráulico, para mover el fluido de una zona de menor presión o altitud a otra de mayor presión o altitud.

Existe una ambigüedad en la utilización del término bomba, ya que generalmente es utilizado para referirse a las máquinas de fluido que transfieren energía, o bombean fluidos incompresibles, y por lo tanto no alteran la densidad de su fluido de trabajo, a diferencia de otras máquinas como lo son los compresores, cuyo campo de aplicación es la neumática y no la hidráulica. Pero también es común encontrar el término bomba para referirse a máquinas que bombean otro tipo de fluidos, así como lo son las bombas de vacío o las bombas de aire.

  

Tipos de bombas

Bombas de desplazamiento positivo o volumétricas, en las que el principio de funcionamiento está basado en la hidroestática, de modo que el aumento de presión se realiza por el empuje de las paredes de las cámaras que varían su volumen. En este tipo de bombas, en cada ciclo el órgano propulsor genera de manera positiva un volumen dado o cilindrada, por lo que también se denominan bombas volumétricas. En caso de poder variar el volumen máximo de la cilindrada se habla de bombas de volumen variable. Si ese volumen no se puede variar, entonces se dice que la bomba es de volumen fijo. A su vez este tipo de bombas pueden subdividirse en

Bomba rotativa de pistones

• Bombas de émbolo alternativo, en las que existe uno o varios compartimentos fijos, pero de volumen variable, por la acción de un émbolo o de una membrana. En estas máquinas, el movimiento del fluido es discontinuo y los procesos de carga y descarga se realizan por válvulas que abren y cierran alternativamente. Algunos ejemplos de este tipo de bombas son la bomba alternativa de pistón, la bomba rotativa de pistones o la bomba pistones de accionamiento axial.
• Bombas volumétricas rotativas o rotoestáticas, en las que una masa fluida es confinada en uno o varios compartimentos que se desplazan desde la zona de entrada (de baja presión) hasta la zona de salida (de alta presión) de la máquina. Algunos ejemplos de este tipo de máquinas son la bomba de paletas, la bomba de lóbulos, la bomba de engranajes, la bomba de tornillo o la bomba peristáltica.

Bomba peristáltica

Bomba de tornillo

• Bombas rotodinámicas, en las que el principio de funcionamiento está basado en el intercambio de cantidad de movimiento entre la máquina y el fluido, aplicando la hidrodinámica. En este tipo de bombas hay uno o varios rodetes con álabes que giran generando un campo de presiones en el fluido. En este tipo de máquinas el flujo del fluido es continuo. Estas turbomáquinas hidráulicas generadoras pueden subdividirse en:

Bomba centrífuga

1. Radiales o centrífugas, cuando el movimiento del fluido sigue una trayectoria perpendicular al eje del rodete impulsor.
2. Axiales, cuando el fluido pasa por los canales de los álabes siguiendo una trayectoria contenida en un cilindro.
3. Diagonales o helicocentrífugas cuando la trayectoria del fluido se realiza en otra dirección entre las anteriores, es decir, en un cono coaxial con el eje del rodete.